Question

设f（x）=log₂

1-ax

x-1

-x为奇函数，a为常数．
（1）求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；
（3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（x）=log₂

1-ax

x-1

-x为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，代入可得a的值；
（2）设1＜x₁＜x₂＜+∞，结合对数运算性质，判断f（x₁）-f（x₂）的符号，进而可得函数f（x）在x∈（1，+∞）时的单调性；
（3）若对于区间[2，3]上的每一个x值，不等式f（x）＞2^x+m恒成立，m＜[f（x）-2^x]_min，分析f（x）-2^x的单调性并求出最值，可得实数m取值范围．

解答： 解：（1）由条件得：f（-x）+f（x）=0，
∴log2

1+ax

-x-1

+log2

1-ax

x-1

=0，
化简得（a²-1）x²=0，
因此a²-1=0，a=±1，
当a=1时，

1-x

x-1

=-1＜0，不符合题意，
因此a=-1．        …（4分）
（也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称，得出结果，同样给分）
（2）判断函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；
证明如下：设1＜x₁＜x₂＜+∞，

f(x1)-f(x2)=log2 x1+1 x1-1 -x1-log2 x2+1 x2-1 +x2=log2 x1+1 x1-1 • x2-1 x2+1 +(x2-x1)

，
∵1＜x₁＜x₂＜+∞，
∴x₂-x₁＞0，x₁±1＞0，x₂±1＞0，
∵（x₁+1）（x₂-1）-（x₁-1）（x₂+1）=x₁x₂-x₁+x₂-1-x₁x₂-x₁+x₂+1=2（x₂-x₁）＞0，
又∵（x₁+1）（x₂-1）＞0，（x₁-1）（x₂+1）＞0，
∴

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

，log2

x1+1

x1-1

•

x2-1

x2+1

＞0，
又x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在x∈（1，+∞）上为单调减函数；
（也可以利用导数证明，对照给分）          …（9分）
（3）不等式为m＜f（x）-2^x恒成立，
∴m＜[f（x）-2^x]_min
∵f（x）在x∈[2，3]上单调递减，2^x在x∈[2，3]上单调递增，
∴f（x）-2^x在x∈[2，3]上单调递减，
当x=3时取得最小值为-10，
∴m∈（-∞，-10）…（14分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，恒成立问题，奇函数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．