题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)若函数有零点,其实数
的取值范围.
(Ⅱ)证明:当时,
.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,讨论两种情况,分别研究函数的单调性,求其最值,结合函数的图象和零点定理即可求出
的取值范围;(2)问题转化为
,令
,令
,利用导数研究函数的单调性,分类讨论求出函数的最值,即可证明.
试题解析:(1)函数的定义域为
.由
,得
.
①当时,
恒成立,函数
在
上单调递增,又
,所以函数
在定义域
上有
个零点.
②当时,则
时,
时,
.所以函数
在
上单调递减,在
上单调递增.当
.当
,即
时,又
,所以函数
在定义域
上有
个零点.
综上所述实数的取值范围为
.
(2)要证明当时,
,即证明当
时,
,即
,令
,则
,当
时,
;当
时,
.所以函数
在
上单调递减,在
上单调递增.当
时,
.于是,当
时,
.①令
,则
.当
时,
;当
时,
.所以函数
在
上单调递增,在
上单调递减.当
时,
.于是,当
时,
.②显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.
故当时,
)
.
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