Question

12．已知椭圆的对称轴为坐标轴，中心在原点，且过（3，0）点，其离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 利用椭圆的简单性质直接求解，需要注意的是要分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况分别求解．

解答 解：①焦点在x轴上时，
由题意知a=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
解得c=$\sqrt{6}$，b²=a²-c²=9-6=3．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
②焦点在y轴上时，
由题意可知b=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且a²=b²+c²，
解得c²=18，a²=27．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{27}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法，解题时要注意分类讨论的合理运用，是基础题．