Question

若随机事件A在一次实验中发生的概率为p（0＜p＜1），用随机变量ξ表示A在三次试验中发生的次数，则

3Dξ-1

Eξ

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：由已知条件知ξ～B（3，p），从而得到E（ξ）=3p，D（ξ）=3p（1-p）=3p-3p²，由此利用均值定理能求出

3Dξ-1

Eξ

的最大值．

解答： 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，
并且有P（ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，
∴ξ～B（3，p），∴E（ξ）=3p，D（ξ）=3p（1-p）=3p-3p²，
∴

3Dξ-1

Eξ

=

9p-9p2-1

3p

=3-（3p+

1

3P

），
∵0＜p＜1，
∴3p+

1

3p

≥2，
当3p=

1

3p

，p=

1

3

时，取“=”，
∴当p=

1

3

时，

3Dξ-1

Eξ

取得最大值3-2=1．
故答案为：1．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一，解题时要注意二项分布和均值定理的合理运用．