Question

【题目】已知在区间上的值域.

(1)求的值；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若函数有三个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：

（1）根据函数图象的开口方向及对称轴与区间的关系得到函数的最值后，根据条件可得．（2）由已知可得在上恒成立，

分离参数可得在上恒成立，换元令，则，可得在上恒成立，构造函数得到的最小值为．（3）由题意可得方程有三个不同的根，令，则得，根据函数有3个零点可得方程有两个不同的实数解，且，或．然后根据方程根的分布得到不等式可得所求范围．

试题解析：

(1)由题意得，在区间上值域．

①当时，

则的最小值为，

由，解得，

∴ ，

此时，满足在区间上值域.

②当在区间上单调递减，

则的最小值为，

由，解得，不合题意，舍去．

③当则在区间上单调递增，

则的最小值为，

由，解得．不合题意，舍去．

综上．

(2)由已知可得在上恒成立，

可得化为在上恒成立，

令，

因，故，

则在上恒成立，

记， ，

故在区间上单调递减，

所以，

故．

所以的取值范围是.

(3)由题意得函数有三个零点，

故方程有三个不同的根，

令， ，

∵，

∴当时， 的范围且单调递减；

当时的范围且单调递增；

当时，

当时的范围且单调递增．

则有两个不同的实数解，

已知函数3个零点等价于其中，或.

记，

则 ① 或 ②

解不等组①，得，而不等式组②无实数解，

所以实数的取值范围是.