Question

【题目】已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为 ，且C上的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）关于直线y=x+m对称，并且 ，那么m= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为 ，

∴ ，解得a=2．

∴抛物线C的方程为：y=2x2（a＞0）．

∵抛物线C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，

∴可设直线AB的方程为y=﹣x+t．

联立 ，消去y得2x2+x﹣t=0，

∵直线AB与抛物线相较于不同两点，∴△=1+4t＞0．

据根与系数的关系得， ， ，由已知 ，∴t=1．

于是直线AB的方程为y=﹣x+1，

设线段AB的中点为M（xM，yM），则 = ，

∴yM= = ．

把M 代入直线y=x+m得 ，解得m= ．

所以答案是 ．