Question

抛物线y=x²-1上是否存在着关于直线y=x对称的两点，证明你的结论.

Answer 1

证明:假设抛物线y=x²-1上存在着关于直线y=x对称的两点P（a,b）和Q（b,a），这里a,b是不相等的实数，则

②-①,得（a-b）=(b²-a²),?

则（a-b）(a+b+2)=0.?

∵a≠b,?

∴a-b≠0.?

那么a+b+2=0.?

∴b=-a-2代入①得?

a²+2a+2=0.?

∵Δ=2²-4×1×2＜0,?

∴方程没有实数根，这与a是实数矛盾.?

因此抛物线y=x²-1上不存在关于直线y=x对称的两点.

点评:符合条件的点或者存在或者不存在，二者必居其一，不可能有第三种情况，我们可以假设这样的点存在，然后通过合乎逻辑的推理和正确的运算，如果能求出这样的点，那就证明这样的点存在，如果因此引出矛盾，那就从反面证明这样的点是不存在的.?

可见，借助反证法可解探索结论的开放性问题.