Question

已知抛物线y=x²-1上一定点B（-1，0）和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是

（-∞，-3]∪[1，+∞）

．

Answer 1

分析：先假设P，Q的坐标，利用BP⊥PQ，可得斜率之积为-1，从而可得方程，再利用方程根的判别式大于等于0，即可求得Q点的横坐标的取值范围

解答：解：设P（t，t²-1），Q（s，s²-1）
∵BP⊥PQ，
∴

t2-1

t+1

•

(s2-1)-(t2-1)

s-t

=-1，
即t²+（s-1）t-s+1=0
∵t∈R，P，Q是抛物线上两个不同的点
∴必须有△=（s-1）²+4（s-1）≥0．
即s²+2s-3≥0，
解得s≤-3或s≥1．
∴Q点的横坐标的取值范围是 （-∞，-3]∪[1，+∞）
故答案为：（-∞，-3]∪[1，+∞）

点评：本题重点考考查取值范围问题，解题的关键是利用斜率之积为-1构建方程，再利用方程根的判别式大于等于0进行求解．