Question

17、数列{a_n}前n项和为S_n，点（n，S_n）在抛物线y=x²+1上．
（1）试写出数列{a_n}的前5项；
（2）数列{a_n}是等差数列吗？试证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）把点（n，S_n）代入抛物线方程得S_n=n²+1，进而根据a_n=S_n-S_n-1分别求得a₂，a₃，a₄，a₅，根据a₁=S₁求得a₁．
（2）当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1=2n-1，但当n=1时不符合．故可判定数列{a_n}不是等差数列．

解答：解：（1）依题意可知S_n=n²+1
∴S₁=1²+1=2，S₂=2²+1=5，S₃=3²+1=10，S₄=4²+1=17，S₅=5²+1=26
∴a₁=S₁=2，a₂=S₂-S₁=3，a₃=S₃-S₂=5，a₄=S₄-S₃=7，a₅=S₅-S₄=9
（2）不是
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+1-（n-1）²+1=2n-1
当n=1时，a₁=2不符合上式，
故数列{a_n}不是等差数列

点评：本题主要考查了等差关系的确定．考查了学生综合分析问题的能力．