Question

1．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且C=$\frac{π}{2}$，则$\frac{4}{si{n}^{2}A}$+$\frac{9}{si{n}^{2}B}$的最小值为25．

Answer 1

分析 由题意，sin²A+sin²B=1，利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出$\frac{4}{si{n}^{2}A}$+$\frac{9}{si{n}^{2}B}$的最小值．

解答 解：由题意，sin²A+sin²B=1，
∴$\frac{4}{si{n}^{2}A}$+$\frac{9}{si{n}^{2}B}$=（$\frac{4}{si{n}^{2}A}$+$\frac{9}{si{n}^{2}B}$）（sin²A+sin²B）=$\frac{4si{n}^{2}B}{si{n}^{2}A}$+$\frac{9si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$+13≥2$\sqrt{36}$+13=25，
∴$\frac{4}{si{n}^{2}A}$+$\frac{9}{si{n}^{2}B}$的最小值为25．
故答案为：25．

点评 本题考查求$\frac{4}{si{n}^{2}A}$+$\frac{9}{si{n}^{2}B}$的最小值，利用“1”的代换，结合基本不等式是关键．