Question

12．设函数f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，其中a是实数；
（1）当0≤x≤1时，关于x的不等式f'（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：e＞（$\frac{1001}{1000}$）^1000.4．

Answer 1

分析 （1）f'（x）=-aln（1+x）+$\frac{1-ax}{1+x}$-1，可得f″（x）=-$\frac{ax+2a+1}{（x+1）^{2}}$，对分类讨论：当a≤-$\frac{1}{2}$时，当a≥0时，当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．
（2）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意的正整数n，不等式$（1+\frac{1}{n}）^{n+\frac{2}{5}}$＜e恒成立，等价变形$（1+\frac{2}{5n}）$$ln（1+\frac{1}{n}）$$-\frac{1}{n}$＜0，相当于（2）中a=-$\frac{2}{5}$，m=$\frac{1}{2}$的情形，利用其单调性即可得出．

解答 （1）解：f'（x）=-aln（1+x）+$\frac{1-ax}{1+x}$-1，
∴f″（x）=-$\frac{ax+2a+1}{（x+1）^{2}}$，
当a≤-$\frac{1}{2}$时，f''（x）=$\frac{-a（x+\frac{2a+1}{a}）}{（x+1）^{2}}$≥0，f'（x）递增，f'（x）≥f'（0）=0，故成立；
当a≥0时，x∈[0，1]，f''（x）＜0，∴f'（x）递减，f'（x）≤f'（0）=0，不符合；
当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，令m=min$\{1，-\frac{2a+1}{a}\}$，当x∈[0，m]时，f^″（x）＜0，于是在x∈[0，m]时函数f′（x）单调递减，f'（x）≤f'（0）=0，不符合．
综上可得：a的取值范围为$（-∞，-\frac{1}{2}]$．
（2）证明：对要证明的不等式等价变形如下：
对于任意的正整数n，不等式$（1+\frac{1}{n}）^{n+\frac{2}{5}}$＜e恒成立，等价变形$（1+\frac{2}{5n}）$$ln（1+\frac{1}{n}）$$-\frac{1}{n}$＜0，
相当于（2）中a=-$\frac{2}{5}$，m=$\frac{1}{2}$的情形，
f′（x）在x∈$[0，\frac{1}{2}]$上单调递减，即f'（x）≤f'（0）=0而且仅有f'（0）=0；
取x=$\frac{1}{n}$，得：对于任意正整数n都有$（1+\frac{2}{5n}）$$ln（1+\frac{1}{n}）$$-\frac{1}{n}$＜0成立；
令n=1000得证．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．