Question

7．在平面直角坐标系xoy中，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A点，且|AF|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点A关于点O的对称点为B，直线BF交椭圆于点C，求∠BAC的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设F（c，0），A（c，y₀），将A点坐标代入椭圆方程得${y_0}=±\frac{b^2}{a}$，从而求出$a=\sqrt{2}$，b=c=1，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A点在第一象限，得$A（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$B（{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，从而直线BF方程为$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）$，联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得5x²-2x-7=0，由此结合已知条件能求出角的大小．

解答 解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设F（c，0），A（c，y₀），
将A点坐标代入椭圆方程：$\frac{c^2}{a^2}+\frac{{{y_0}^2}}{b^2}=1$，得${y_0}=±\frac{b^2}{a}$，
∴$|{AF}|=\frac{b^2}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，而$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$a=\sqrt{2}$，b=c=1，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$．…（5分）
（Ⅱ）由椭圆的对称性，不妨设A点在第一象限，可得$A（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，∴$B（{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．
则直线BF方程为$y=\frac{{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{-2}（{x-1}）$，即$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）$，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（{x-1}）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，消去y，可得5x²-2x-7=0，
设C（x₁，y₁），则${x_1}=\frac{7}{5}$，代入椭圆方程，得${y_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，
∴$C（{\frac{7}{5}，\frac{{\sqrt{2}}}{10}}）$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=（{-2，-\sqrt{2}}）•（{\frac{2}{5}，-\frac{2}{5}\sqrt{2}}）=0$，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}$，∴∠BAC=90°．…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的对称性、韦达定理、向量知识的合理运用．