Question

已知集合A={x|ax+5≤3}，B={x|x≥1}．
（1）若A∪B=B，求实数a的取值范围；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数a使得A∪B=A∩B？若存在，求出a的值，若不存在，试说明理由．

Answer 1

考点：交集及其运算,并集及其运算

专题：集合

分析：（1）A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，B={x|x≥1}，A∪B=B，从而A⊆B，由此能求出实数a的取值范围．
（2）A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，B={x|x≥1}，A∩B=B，从而B⊆A，由此能求出实数a的取值范围．
（3）A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，B={x|x≥1}，A∪B=A∩B，从而A=B，由此能求出a=-2．

解答： 解：（1）∵A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，
B={x|x≥1}，A∪B=B，
∴A⊆B，
当a=0时，A=∅，成立；
当a＞0时，A={x|x≤-

2

a

}，不成立；
当a＜0时，A={x|x≥-

2

a

}，
此时-

2

a

≥1，解得a≥-2，即-2≤a＜0，
综上所述，实数a的取值范围是[-2，0]．
（2）∵A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，
B={x|x≥1}，A∩B=B，
∴B⊆A，
当a=0时，A=∅，不成立；
当a＞0时，A={x|x≤-

2

a

}，不成立；
当a＜0时，A={x|x≥-

2

a

}，
此时-

2

a

≤1，解得a≤-2，
∴实数a的取值范围是（-∞，-2]．
（3）∵A={x|ax+5≤3}={x|ax≤-2}，
B={x|x≥1}，A∪B=A∩B，
∴A=B，
当a=0时，A=∅，不成立；
当a＞0时，A={x|x≤-

2

a

}，不成立；
当a＜0时，A={x|x≥-

2

a

}，
此时-

2

a

=1，解得a=-2．

点评：本题考查实数值的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意集合的交集、并集、集合相等的性质的合理运用．