Question

已知圆O′：（x+2）²+y²=8及点A（2，0），在圆O′上任取一点B，连结AB并作AB的中垂线l，设l与直线O′B交于点P，若B取遍圆O′上的点，则点P的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设B（x₀，y₀），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得线段AB的垂直平分线的斜率k=-

x0-2

y0

．线段AB的垂直平分线的方程为：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，直线O′B的方程为：y=

y0

x0+2

(x+2)，又(x0+2)2+

y

2 0

=8．联立消去x₀，y₀即可得出．

解答： 解：设B（x₀，y₀），线段AB的中点M(

x0+2

2

，

y0

2

)，k_AB=

y0

x0-2

，
则线段AB的垂直平分线的斜率k=-

x0-2

y0

．
∴线段AB的垂直平分线的方程为：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，
直线O′B的方程为：y=

y0

x0+2

(x+2)，
又(x0+2)2+

y

2 0

=8．
联立可得：x²-y²=2．
故答案为：x²-y²=2．

点评：本题考查了圆的标准方程、中点坐标公式、线段的垂直平分线的方程、双曲线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．