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如图,四棱锥
的底面为正方形,侧面
底面
.
为等腰直角三角形,且
.
,
分别为底边
和侧棱
的中点.
(1)求证:
∥平面
;
(2)求证:
平面
;
(3)求二面角
的余弦值.
试题答案
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(1)详见解析;(2)详见解析;(3)所以二面角
的余弦值为
.
试题分析:(1)求证:
∥平面
,证明线面平行,首先证明线线平行,可用三角形的中位线平行,也可用平行四边形的对边平行,注意到
是
的中点,取
的中点
,连接
,
,则所以
是△
的中位线,证得四边形
是平行四边形,从而得
∥
,从而可证
∥平面
;(2)求证:
平面
,可用空间向量法,注意到平面
平面
,
,可以点
为原点,分别以
为
轴,建立空间直角坐标系,由题意设
,则的各点坐标,从而得
,
,
,利用数量积得
,
,从而得证;(Ⅲ)求二面角
的余弦值,由(2)建立空间直角坐标系,可设平面
的法向量为
,求出一个法向量
,由(2)可知平面
的法向量是
,利用向量的夹角公式,即可求得二面角
的余弦值.
试题解析:(1)取
的中点
,连接
,
.
因为
,
分别是
,
的中点,
所以
是△
的中位线. 所以
∥
,且
.
又因为
是
的中点,且底面
为正方形,
所以
,且
∥
.所以
∥
,且
.
所以四边形
是平行四边形.所以
∥
.
又
平面
,
平面
,所以
平面
. 4分
(2)证明:因为平面
平面
,
,且平面
平面
,
所以
平面
.
所以
,
.
又因为
为正方形,所以
,
所以
两两垂直.
以点
为原点,分别以
为
轴,
建立空间直角坐标系(如图).
由题意易知
, 设
,则
,
,
,
,
,
,
.
因为
,
,
,
且
,
所以
,
.
又因为
,
相交于
,所以
平面
. 9分
(3)易得
,
.
设平面
的法向量为
,则
,所以
即
令
,则
.
由(2)可知平面
的法向量是
,
所以
.
由图可知,二面角
的大小为锐角,
所以二面角
的余弦值为
. 14分
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在如图所示的几何体中,
平面
,
∥
,
是
的中点,
,
.
(1)证明:
∥平面
;
(2)求二面角
的大小的余弦值.
如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=
,点M,N分别在线段PA和BD上,BN=
BD.
(1)若PM=
PA,求证:MN⊥AD;
(2)若二面角M-BD-A的大小为
,求线段MN的长度.
如图,四棱锥
的底面是正方形,侧棱
底面
,过
作
垂直
交
于
点,作
垂直
交
于
点,平面
交
于
点,且
,
.
(1)设点
是
上任一点,试求
的最小值;
(2)求证:
、
在以
为直径的圆上;
(3)求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
如图1,在Rt△
ABC
中,∠
ACB
=30°,∠
ABC
=90°,
D
为
AC
中点,
于
,延长
AE
交
BC
于
F
,将
ABD
沿
BD
折起,使平面
ABD
平面
BCD
,如图2所示.
(1)求证:
AE
⊥平面
BCD
;
(2)求二面角
A–DC–B
的余弦值.
(3)在线段
上是否存在点
使得
平面
?若存在,请指明点
的位置;若不存在,请说明理由.
如图,已知在四棱锥
中,底面
是矩形,
平面
,
,
,
是
的中点,
是线段
上的点.
(1)当
是
的中点时,求证:
平面
;
(2)要使二面角
的大小为
,试确定
点的位置.
如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,
.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.
如图所示,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=
,F为PC的中点,AF⊥PB.
(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,若E是A
1
C
1
的中点,则直线CE与BD的位置关系是
.
关 闭
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