Question

16．已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为$\frac{1}{4}$cot52.5°．

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，求出∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BOC，由余弦定理，基本不等式可求OB•OC≤$\frac{1}{2（1-cos105°）}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵∠BAC=30°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-30°=150°，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×150°=75°，
∴∠BOC=180°-75°=105°．
∵BC=1，
∴由余弦定理可得：1=OB²+OC²-2•OB•OC•cos105°≥2OB•OC-2•OB•OC•cos105°，整理可得：OB•OC≤$\frac{1}{2（1-cos105°）}$，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$OB•OC•sin105°≤$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{2（1-cos105°）}$×sin105°=$\frac{sin105°}{4（1-cos105°）}$=$\frac{cos52.5°}{4sin52.5°}$=$\frac{1}{4}$cot52.5°．
故答案为：$\frac{1}{4}$cot52.5°．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式，三角形的内切圆与内心的应用，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较典型，难度适中．