Question

6．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，CB=4，AB=12，D为
AB中点，M为PB中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（1）求证：DM∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（3）求三棱锥M-BCD的体积．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理可得DM∥PA，故DM∥面PAC；
（2）证明AP⊥平面PBC得PA⊥BC，结合BC⊥AC得出BC⊥平面PAC，故平面PAC⊥平面ABC；
（3）利用勾股定理计算PC，DM，代入棱锥的体积公式计算．

解答 证明：（1）∵D为AB中点，M为PB中点，
∴DM∥AP，
又∵DM?面APC，AP?面APC，
∴DM∥面PAC．
（2）∵△PDB是正三角形，M为PB中点，
∴DM⊥PB，又∵DM∥AP，
∴PA⊥PB，又∵PA⊥PC，PB∩PC=P，
∴PA⊥面PBC，∵BC?面PBC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AC，AC∩PA=A，
∴BC⊥面PAC，
又∵BC?面ABC，
∴面PAC⊥面ABC．
解：（3）∵AB=12，D为AB中点，∴BD=6，
又∵△PDB为正三角形，∴DM=3$\sqrt{3}$，
又∵BC=4，PB=6，∴PC=$\sqrt{P{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$•4•2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$，
∴S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△PBC=2$\sqrt{5}$，
∵AP⊥平面PBC，DM∥PA，
∴DM⊥平面PBC，
∴V_M-BCD=V_D-BCM=$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{5}$•3$\sqrt{3}$=2$\sqrt{15}$．

点评 本题考查了线面平行，线面和面面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．