Question

设正整数数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，当n≥2时，有．
（1）求a₃的值；（2）求数列{a_n}的通项；
（3）记，证明：对任意n∈N^*，．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=2时，，利用条件a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，结合正整数数列{a_n}，可求；
（2）先猜后证，关键是第二步的证明，必须利用归纳假设；
（3）通过两次等式相减，利用错位相减法求和，从而可证．
解答：解：（1）n=2时，，由已知a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，因为正整数数列{a_n}，所以a₃=18；
（2）猜想a_n=2×3^n-1，下面用数学归纳法证明
①n=1，2时成立
②假设时n=k成立，即a_k=2×3^k-1，则a_k-1=2×3^k-2，于是整理结合归纳假设得，因为正整数数列{a_n}，所以a_k+1=2×3^k，即n=k+1时成立
综上知a_n=2×3^n-1
②得③
②-③得：④
∴⑤
④-⑤式得：
点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．