Question

设正整数数列{a_n}满足a₁=2，a₂=6，当n≥2时，有|

a

2 n

-an-1an+1| ＜  

1

2

an-1．
（1）求a₃的值；（2）求数列{a_n}的通项；
（3）记Tn=

12

a1

+

22

a2

+

32

a3

 +K+

n2

an

，证明：对任意n∈N^*，Tn＜

9

4

．

Answer 1

分析：（1）n=2时，|

a

2 2

-a1a3| ＜ 

1

2

a1，利用条件a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，结合正整数数列{a_n}，可求；
（2）先猜后证，关键是第二步的证明，必须利用归纳假设；
（3）通过两次等式相减，利用错位相减法求和，从而可证．

解答：解：（1）n=2时，|

a

2 2

-a1a3| ＜ 

1

2

a1，由已知a₁=2，a₂=6，得|36-2a₃|＜1，因为正整数数列{a_n}，所以a₃=18；
（2）猜想a_n=2×3^n-1，下面用数学归纳法证明
①n=1，2时成立
②假设时n=k成立，即a_k=2×3^k-1，则a_k-1=2×3^k-2，于是|

a

n 2

-an-1an+1| ＜ 

1

2

an-1整理结合归纳假设得|2×3k-ak+1 | ＜ 

1

2

，因为正整数数列{a_n}，所以a_k+1=2×3^k，即n=k+1时成立
综上知a_n=2×3^n-1
(2)证明：由2Tn=1+

22

3

+

32

32

++

n2

3n-1

②得

2

3

Tn=

12

3

+

22

3

++

(n-1)2

3n-1

+

n2

3n

③
②-③得：

4

3

Tn=

1

3

+

3

3

++

2n-1

3n-1

-

n2

3n

④
∴

4

9

Tn=

1

3

+

2

32

++

2n-3

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n+1

⑤
④-⑤式得：

8

9

Tn=

1

3

+

2

32

++

2

3n-1

-

2n-1

3n

-

n2

3n

+

n2

3n+1

=-1+2(1+ 1 3 + 2 32 ++ 1 3n-1 )- 2n-1 3n - n2 3n + n2 3n+1 =-1+2• 1- 1 3n 1- 1 3 - 2n-1 3n - n2 3n + n2 3n+1 =1+3- 1 3n-1 - 2n-1 3n - n2 3n + n2 3n+1 =2- 2n2+6n++6 3n+1 ＜2 即Tn＜ 9 4

点评：本题考查数列知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．