Question

设正整数数列{a_n}满足：a₂=4，且对于任何n∈N^*，有2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

；
（1）求a₁，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项a_n．

Answer 1

分析：（1）令n=1，根据2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

可得到

2

3

＜a1＜

8

7

，再由a₁为正整数可得到a₁的值，当n=2时同样根据2+

1

an+1

＜

1 an + 1 an+1

1 n - 1 n+1

＜2+

1

an

可得到2+

1

a3

＜6(

1

4

 +

1

a3

)＜2+

1

4

进而可得到a₃的范围，最后根据数列{a_n}是正整数数列求出a₃的值．
（2）先根据a₁=1，a₂=4，a₃=9可猜想a_n=n²，再用数学归纳法证明．

解答：解：（1）据条件得2+

1

an+1

＜n(n+1)(

1

an

+

1

an+1

)＜2+

1

an

①
当n=1时，由2+

1

a2

＜2(

1

a1

+

1

a2

)＜2+

1

a1

，即有2+

1

4

＜

2

a1

+

2

4

＜2+

1

a1

，
解得

2

3

＜a1＜

8

7

．因为a₁为正整数，故a₁=1．
当n=2时，由2+

1

a3

＜6(

1

4

 +

1

a3

)＜2+

1

4

，解得8＜a₃＜10，所以a₃=9．
（2）由a₁=1，a₂=4，a₃=9，猜想：a_n=n²．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1，2时，由（1）知a_n=n²均成立；
②假设n=k（k≥2）成立，则a_k=k²，则n=k+1时
由（1）得2+

1

ak+1

＜k(k+1)(

1

k2

+

1

ak+1

)＜2+

1

k2

∴

k3(k+1)

k2-k+1

＜ak+1＜

k(k2+k-1)

k-1

(k3+1-1)(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜

k[(k2+k)2-1]

k3-1

，
即

(k3+1-1)(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜

k3(k+1)2-k

k3-1

∴(k+1)2-

(k+1)2

k3+1

＜ak+1＜(k+1)2+

1

k-1

因为k≥2时，（k³+1）-（k+1）²=k（k+1）（k-2）≥0，所以

(k+1)2

k3+1

∈(0，1]．
k-1≥1，所以

1

k-1

∈(0，1]．又a_k+1∈N^*，所以（k+1）²≤a_k+1≤（k+1）²．
故a_k+1=（k+1）²，即n=k+1时，a_n=n²成立．由1°，2°知，对任意n∈N^*，
a_n=n²．

点评：本题主要考查根据条件求数列的项和求数列的通项公式．先猜想数列的通项公式再由数学归纳法证明来求数列的通项公式的方法是高考的一个重要考点，要熟练掌握．