Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
（1）证明二者焦点相同，并求出焦点坐标．
（2）已知二者的一个交点为P，焦点分别为F₁，F₂，求|PF₁|的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1可得半焦距${c}_{1}=\sqrt{16-12}$，由双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得半焦距c₂=$\sqrt{1+3}$，即可证明．
（2）对交点P分类讨论，利用椭圆与双曲线的定义即可得出．

解答 （1）证明：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1可得半焦距${c}_{1}=\sqrt{16-12}$=2，由双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得半焦距c₂=$\sqrt{1+3}$=2，
∴c₁=c₂=2．
且焦点都在x轴上，为（±2，0）．
（2）①设交点P在第一或四象限，左右焦点分别为F₁，F₂，则|PF₁|-|PF₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=8，
解得|PF₁|=5，|PF₂|=3；
②设交点P在第二或三象限，左右焦点分别为F₁，F₂，则|PF₁|-|PF₂|=-2，|PF₁|+|PF₂|=8，
解得|PF₁|=3，|PF₂|=5．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．