Question

已知数列，其中，且

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求证：对任意，．

Answer 1

（Ⅰ）解：=6

n=1时，=1，解得=1

（Ⅱ）证明：①n=1，2时，由上可知，=n（2n－1）成立

②假设n=k（k2，kN⁺）时，a_k=k（2k－1）成立

则对n=k+1，由=k可得：

=k（）

（k－1）=（k+1） －（k+1）

=（k+1）（－1）

=（k+1）（2k²－k－1）

=（k+1）（k－1）（2k+1）

k2

=（k+1）[2（k+1）－1）]

n=k+1时成立

由①②得，a_n=n（2n－1）对nN⁺成立。