Question

（1）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；

（2）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明：数列不是等比数列.

Answer 1

解：（1）解：因为｛c_n＋1－pc_n｝是等比数列，

故有：（c_n＋1－pc_n）²＝（c_n＋2－pc_n＋1）（c_n－pc_n－1），将c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得：

［2^n＋1＋3^n＋1－p（2ⁿ＋3ⁿ）］²＝［2^n＋2＋3^n＋2－p（2^n＋1＋3^n＋1）］·［2ⁿ＋3ⁿ－p（2^n－1＋3^n－1）］，

即［（2－p）2ⁿ＋（3－p）3ⁿ］²

＝［（2－p）2^n＋1＋（3－p）3^n＋1］［（2－p）2^n－1＋（3－p）3^n－1］，

整理得（2－p）（3－p）·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得p=2或p=3.

（2）证明：设｛a_n｝、｛b_n｝的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n.

为证｛c_n｝不是等比数列只需证c₂²≠c₁·c₃.

事实上，c₂²＝（a₁p＋b₁q）²＝a₁²p²＋b₁²q²＋2a₁b₁pq，

c₁·c₃＝（a₁＋b₁）（a₁p²＋b₁q²）＝a₁²p²＋b₁²q²＋a₁b₁（p²＋q²），

由于p≠q，p²＋q²＞2pq，又a₁、b₁不为零，因此c₂²≠c₁·c₃，故｛c_n｝不是等比数列.