题目内容
（I）已知数列
，其中
，且数列
为等比数列，求常数
；
（II）设
、
是公比不相等的两个等比数列，
，证明数列不是等比数列．
解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有
（cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1），
将cn=2n＋3n代入上式，得
[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2
=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]?[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，
即[（2－p）2n+（3－p）3n]2
=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，
整理得
（2－p）（3－p）?2n?3n=0，
解得p=2或p=3．
（Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn．
为证{cn}不是等比数列只需证
≠c1?c3．
事实上，=（a1p＋b1q）2=
p2＋
q2＋2a1b1pq，
c1?c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）．
由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，
因此
c1?c3，故{cn}不是等比数列．
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