Question

已知向量

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

．若x，y满足不等式|x|+|y|≤1，则z的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：根据平面向量的垂直的坐标运算法则，由已知

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，得到关于x，y，z的方程，即关于Z的目标函数，画出约束条x+y≤1对应的平面区域，并求出各个角点的坐标，代入即可求出目标函数的最值，进而给出z的取值范围．

解答： 解：∵

a

=（x+z，3），

b

=（2，y-z），且

a

⊥

b

，
∴（x+z）×2+3×（y-z）=2x+3y-z=0，
即z=2x+3y，
∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示：
由图可知当x=0，y=1时，z取最大值3，
当x=0，y=-1时，z取最小值-3，
故z的取值范围为[-3，3]；
故答案为[-3，3]．

点评：本题考查了两个平面向量的垂直性质，简单线性规划的应用，其中利用平面向量的垂直的坐标运算法则，求出目标函数的解析式是解答本题的关键．