Question

在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，在四边形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=4，AD=AE=EF=2，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）求证：AF⊥平面BCF
（2）求二面角B-FC-D的大小
（3）求点D到平面BCF的距离．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用平面ABFE与平面ABCD互相垂直，结合面面垂直的性质得到AF与CB垂直，然后利用余弦定理在△ABF中计算出BF的长，从而BF²+AF²=AB²，得出AF⊥FB，最后运用直线与平面垂直的判定定理，得到AF⊥平面BCF；
（2）分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．则有D（2，0，0），C（2，4，0）E（0，0，2），B（0，4，0）．分别求出平面CDEF的法向量与平面BCF的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得．
（3）利用d=

| DC • AF |

| AF |

可求点D到平面BCF的距离．

解答： （1）证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，CB⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴CB⊥平面ABFE，
∵AF?平面ABFE，
∴CB⊥AF，
在直角梯形ABFE中，AB∥EF，∠EAB=90°，AE=EF=2
∴AF=2

2

∴∠FAB=45°
△ABF中，AB=4，根据余弦定理得：BF=2

2

，
∴BF²+AF²=AB²，
∴AF⊥FB．
∵CB∩FB=B，
∴AF⊥平面BCF；
（2）解：∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB，平面ABFE∩平面ABCD=AB，
∴EA⊥平面ABCD．
分别以AD、AB、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
则有D（2，0，0），C（2，4，0）E（0，0，2），B（0，4，0）．
∴

DC

=（0，4，0），

DE

=（-2，0，2）．
设

n

=（x，y，z）为平面CDEF的法向量，则

4y=0 -2x+2z=0

令x=1，则z=1，则

n

=（1，0，1）
由（1）知

AF

（0，2，2）=2（0，1，1）为平面BCF的法向量．
∴cos＜

n

，

AF

＞=

1

2

且B-FC-D为钝角，
∴二面角B-FC-D的大小为120°；
（3）解：∵

AF

（0，2，2）=2（0，1，1）为平面BCF的法向量，

DC

=（0，4，0），
∴点D到平面BCF的距离d=

| DC • AF |

| AF |

=2

2

．

点评：本题是一道立体几何的综合题，着重考查了平面与平面垂直的性质及直线与平面垂直的判定，考查面面角，考查向量知识的运用，属于中档题．