Question

10．已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，SA=SD=$\sqrt{5}，SB=\sqrt{7}$，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且$\overrightarrow{SF}=λ\overrightarrow{SC}$，SA∥平面BEF．
（Ⅰ）求实数λ的值；
（Ⅱ）求二面角S-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，设AC∩BE=G，证明SA∥FG，通过△GEA～△GBC，求解λ即可．
（Ⅱ）以EA，EB，ES所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面SEB的法向量，平面EFB的法向量，利用空间向量的数量积求解所求二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE=G，
则平面SAC∩平面EFB=FG，
∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∵△GEA～△GBC，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{SF}{FC}=\frac{AG}{GC}=\frac{1}{2}⇒SF=\frac{1}{3}SC$，
∴$λ=\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）∵$SA=SD=\sqrt{5}$，∴SE⊥AD，SE=2，
又∵AB=AD=2，∠BAD=60°，∴$BE=\sqrt{3}$∴SE²+BE²=SB²，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，
以EA，EB，ES所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则$A（1，0，0），B（0，\sqrt{3}，0），S（0，0，2）$，平面SEB的法向量$\overrightarrow m=\overrightarrow{EA}=（1，0，0）$，
设平面EFB的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\overrightarrow n⊥EB⇒（x，y，z）•（0，\sqrt{3}，0）=0⇒y=0$，$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{GF}⇒\overrightarrow n⊥\overrightarrow{AS}⇒（x，y，z）•（-1，0，2）=0⇒x=2z$，
令z=1，得$\overrightarrow n=（2，0，1）$，∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
即所求二面角的余弦值是$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面的位置关系的应用，考查空间想象能力以及计算能力．