Question

1．数列{a_n}的前项和记为S_n，a₁=t，点（a_n+1，S_n）在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上n∈N⁺．
（1）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若f（x）=[x]（[x]表示不超过x的最大整数），在（1）的结论下，令${b_n}=f（{log_3}{a_n}）+1，{c_n}={a_n}+\frac{1}{{{b_n}{b_{n+2}}}}$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意得S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-1，根据数列的递推公式即可得到当n≥2时，数列{a_n}是等比数列，再根据a₁，即可求出t的值，
（2）根据f（x）=[x]，求出b_n=n，再根据等比数列的求和公式和裂项求和即可求出T_n．

解答 解：（1）由题意得S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-1，
∴S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1，
两式相减得a_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-$\frac{1}{2}$a_n，
即a_n+1=3a_n，
∴当n≥2时，数列{a_n}是等比数列，
要使n≥1时，数列{a_n}是等比数列，
则只需要$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=3，
∵a₁=$\frac{1}{2}$a₂-1，
∴a₂=2a₁+2，
∴$\frac{2t+2}{t}$=3，
解得t=2，
∴实数t=2时，数列{a_n}是等比数列，a_n=2•3^n-1，
（2）∵b_n=f（log₃a_n）+1=[log₃（2×3^n-1）]，
∵3^n-1＜2×3^n-1＜3ⁿ，
∴n-1＜log₃（2×3^n-1）＜n，
∴b_n=n-1+1=n，
∴c_n=a_n+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=2×3^n-1+$\frac{1}{n（n+2）}$=2×3^n-1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∵{a_n}的前n项和为$\frac{2（1-{3}^{n}）}{1-3}$=3ⁿ-1，
{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$}的前n项和为$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$
∴T_n=3ⁿ-1+$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$═3ⁿ-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$-$\frac{1}{4}$

点评 本题考查了数列和函数的特征以及数列的递推公式和等比数列的求和公式和裂项求和，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题