Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x-2x
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x）-4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；
对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e^x+e^-x-2≥2

ex•e-x

-2=0，
即f'（x）≥0，当且仅当e^x=e^-x即x=0时，f'（x）=0，
∴函数f（x）在R上为增函数；
（Ⅱ）g（x）=f（2x）-4bf（x）=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
则g'（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2b+2）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜e^x+e^-x＜2b-2即0＜x＜ln（b-1+

b2-2b

）时，g'（x）＜0，
又由g（0）=0知，当0＜x≤ln（b-1+

b2-2b

）时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法和运算求解能力，属于中档题和易错题．