Question

1．如图所示，AC为球O的直径，BC是截面圆O₁的直径，点D在圆O₁上，根据球的截面性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面，求证：
（1）AB⊥平面BCD；
（2）平面ADC⊥平面ABD．

Answer 1

分析 （1）运用中位线定理和球的截面性质，以及线面垂直的性质定理，即可得证；
（2）运用圆的直径的性质和线面垂直的判定定理，结合面面垂直的判定定理，即可得证．

解答 证明：（1）由O为AC的中点，O₁为BC的中点，
可得AB∥OO₁，由球的截面的性质可得，
OO₁⊥平面BCD，
则AB⊥平面BCD；
（2）在圆O₁中，BC为直径，D为圆上一点，
即有CD⊥BD，
又AB⊥平面BCD，则AB⊥CD，
即有CD⊥平面ABD，
CD?平面ACD，
则有平面ADC⊥平面ABD．

点评 本题考查空间线面垂直的判定定理和性质定理的运用，主要考查线面垂直和面面垂直的判定，注意运用转化思想和圆的性质和球的截面性质，属于基础题．