Question

6．如图，四棱锥S一ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，且AD=2，SA=AB=1．
求：（1）SC与平面SAD所成角的正切值；
    （2）SP与平面SCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出SC与平面SAD所成角的正切值．
（2）求出平面SCD的法向量和$\overrightarrow{SP}$，由此能求出SP与平面SCD所成角的正弦值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意得S（0，0，1），C（1，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），
$\overrightarrow{SC}$=（1，2，-1），平面SAD的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设SC与平面SAD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{SC}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SC}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{SC}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴SC与平面SAD所成角的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）P（1，1，0），$\overrightarrow{SP}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{SD}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{SC}$=（1，2，-1），
设平面SCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SD}=2b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=a+2b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
设SP与平面SCD所成角为α，
则sinα=|cos＜$\overrightarrow{SP}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{SP}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{SP}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{0+1-2}{\sqrt{3}×\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{15}}{15}$．
∴SP与平面SCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{15}$．

点评 本题考查线面角的正切值和正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．