Question

设函数f（x）=

1

3

x-lnx（x＞0），那么函数y=f（x）（　　）

• A、在区间（

  1

  e

  ，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
• B、在区间（

  1

  e

  ，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
• C、在区间（

  1

  e

  ，1），（1，e）内均有零点
• D、在区间（

  1

  e

  ，1），（1，e）内均无零点

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：求函数的导数，判断函数的单调性，然后利用函数零点的判断条件即可得到结论．

解答： 解：函数的导数为f′（x）=

1

3

-

1

x

=

x-3

3x

，
当f′（x）＞0，解得x＞3，此时函数单调递增，
当f′（x）＜0，解得0＜x＜3，此时函数单调递减，
则函数f（x）在（

1

e

，1），（1，e）都为减函数，
∵f（

1

e

）=

1

3

×

1

e

-ln

1

e

=

1

3e

+1＞0，f（1）=

1

3

＞0，f（e）=

1

3

e-lne=

1

3

e-e＜0，
∴在区间（

1

e

，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点，
故选：A

点评：本题主要考查函数零点的判断，求函数的导数，判断函数的单调性，以及利用函数零点的判断条件是解决本题的关键．