Question

如图，已知平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁、O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD上的射影是O。

（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；

（2）若∠A₁AB＝60°，求平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值。

Answer 1

（1）连结AC,BD,AC,则O为AC,BD的交点O₁为A₁C₁,B₁D₁的交点。

由平行六面体的性质知：A₁O₁∥OC且A₁O₁=OC,

四边形A₁OCO₁为平行四边形，    ………(2分)

A₁O∥O₁C.  又∵A₁O⊥平面ABCD，

O₁C⊥平面ABCD,           ………(4分)

又∵O₁C平面O₁DC,

 平面O₁DC⊥平面ABCD。     ………(6分)

（2）由题意可知RtA₁OB≌RtA₁OA,则A₁A=A₁B，

又∠A₁AB=60⁰，故A₁AB是等边三角形。               …………(7分)

不妨设AB=a, 则在RtA₁OA中，OA=a, AA₁=a, OA₁=a,

如图分别以OB,OC,OA₁为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系，

则可得坐标为A(0,-a,0), B(a,0,0), A₁(0,0,,a)      …………(8分)

=(a,a,0)，  =(-a,0,a)

设平面ABA₁的法向量为=(x,y,z)

则由·=0得x+y=0,由·=0得x-z=0

令x=1得=(1,-1,1)                                   …………(10分)

又知BD⊥平面ACC₁A₁，故可得平面CAA₁的一个法向量为=(1,0,0)

cosθ=||=

从而平面BAA₁与平面CAA₁的夹角的余弦值为。      …………(12分)