Question

8．设函数f（x）=a（x-1）．
（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x；
（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：$|f（{x^2}）+x|≤\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x即|x-1|+|x+1|≥3x，分类讨论，即可解不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x；
（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，|f（x²）+x|≤|a|（1-x²）+|x|≤1-x²+|x|，即可证明：$|f（{x^2}）+x|≤\frac{5}{4}$．

解答 解：（ I）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（-x）|≥3x即|x-1|+|x+1|≥3x
当x≤-1时，得1-x-x-1≥3x⇒x≤0，∴x≤-1-----------------------------------------（1分）
当-1＜x＜1时，得1-x+x+1≥3x$⇒x≤\frac{2}{3}$，∴$-1＜x≤\frac{2}{3}$-----------------------------（2分）
当x≥1时，得x-1+x+1≥3x⇒x≤0，与x≥1矛盾，-------------------------------------（3分）
综上得原不等式的解集为$\{x|x≤-1\}∪\{x|-1＜x≤\frac{2}{3}\}$=$\{x|x≤\frac{2}{3}\}$------------------------（5分）
（II）证明：|f（x²）+x|=|a（x²-1）+x|≤|a（x²-1）|+|x|-----------------------------------------------（6分）
∵|a|≤1，|x|≤1
∴|f（x²）+x|≤|a|（1-x²）+|x|≤1-x²+|x|-------------------------------------------------（7分）
=$-|x{|^2}+|x|+1=-{（|x|-\frac{1}{2}）^2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$，------------------------------------------（9分）
当$|x|=\frac{1}{2}$时取“=”，得证．--------------------------------------------------------------（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的性质，正确转化是关键．