Question

3．如图，A₁，A₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁，A₂的三点，直线QA₁，QA₂，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（　　）

• A． 5
• B． 3+$\sqrt{5}$
• C． 9
• D． 14

Answer 1

分析 设Q（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，可得：${k}_{{A}_{2}Q}$•${k}_{{A}_{1}Q}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．设直线OS，OT的方程分别为：y=k₁x，y=k₂x，则${k}_{{A}_{2}Q}$=k₁，${k}_{{A}_{1}Q}$=k₂．可得k₁k₂．直线方程与椭圆方程分别联立可得${x}_{S}^{2}$，${y}_{S}^{2}$；${x}_{T}^{2}$，${y}_{T}^{2}$．即可得出：|OS|²+|OT|²．

解答 解：设Q（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{5}$=1，∴${y}_{0}^{2}$=$\frac{5}{9}（9-{x}_{0}^{2}）$．
设直线OS，OT的方程分别为：y=k₁x，y=k₂x，
则${k}_{{A}_{2}Q}$=k₁，${k}_{{A}_{1}Q}$=k₂．
∵${k}_{{A}_{2}Q}$•${k}_{{A}_{1}Q}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$$•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-9}$=-$\frac{5}{9}$．
∴k₁k₂=-$\frac{5}{9}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，解得${x}_{S}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$，${y}_{S}^{2}$=$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$．
同理可得：${x}_{T}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$，${y}_{T}^{2}$=$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$．
∴|OS|²+|OT|²=${x}_{S}^{2}$+${y}_{S}^{2}$+${x}_{T}^{2}$+${y}_{T}^{2}$=$\frac{45}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45}{5+9{k}_{2}^{2}}$+$\frac{45{k}_{2}^{2}}{5+9{k}_{2}^{2}}$
=$\frac{45（1+{k}_{1}^{2}）}{5+9{k}_{1}^{2}}$+$\frac{45（1+\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}）}{5+9×\frac{25}{81{k}_{1}^{2}}}$=$\frac{70+126{k}_{1}^{2}}{5+9{k}_{1}^{2}}$=14．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、平行四边形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．