Question

13．已知函数y=f（x）的定义域内任意的自变量x都有f（$\frac{π}{2}$-x）=f（$\frac{π}{2}$+x），且对任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有f′（x）+f（x）tanx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），设a=f（$\frac{4π}{3}$），b=f（$\frac{2π}{3}$），c=$\frac{1}{2}$f（0），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A． a＜c＜b
• B． c＜a＜b
• C． c＜b＜a
• D． b＜a＜c

Answer 1

分析 求出函数的对称轴，构造函数g（x），通过求导得到g（x）的单调性，从而判断出a，b，c的大小即可．

解答 解：∵f（$\frac{π}{2}$-x）=f（$\frac{π}{2}$+x），
∴x=$\frac{π}{2}$是函数的对称轴，
令g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）cosx+sinxf（x）}{{cos}^{2}x}$，
∵对任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有f′（x）+f（x）tanx＞0，
∴对任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有cosxf′（x）+sinf（x）＞0，
∴对任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），都有g′（x）＞0，
∴g（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）单调递增，
∴g（x）在（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$）单调递减，
∴g（$\frac{2π}{3}$）＞g（0）=g（π）＞g（$\frac{4π}{3}$），
∴f（$\frac{2π}{3}$）＞f（0）=f（π）＞f（$\frac{4π}{3}$），
∴b＞c＞a，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．