Question

在各项为正的数列{a_n}中，数列的前n项和S_n满足S_n＝(a_n＋)．

(1)求a₁，a₂，a₃；

(2)由(1)猜想到数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

解：(1)S₁＝a₁＝(a₁＋)，得a＝1，

∵a_n>0，∴a₁＝1.

S₂＝a₁＋a₂＝(a₂＋)，得a＋2a₂－1＝0，

∴a₂＝－1，S₃＝a₁＋a₂＋a₃＝(a₃＋)．

得a＋2a₃－1＝0，∴a₃＝－.

(2)猜想a_n＝－ (n∈N^*)．

证明如下：①n＝1时，a₁＝－命题成立；

②假设n＝k时，a_k＝－成立，

则n＝k＋1时，

a_k＋1＝S_k＋1－S_k

∴a＋2a_k＋1－1＝0.∴a_k＋1＝－.

即n＝k＋1时，命题成立．…

由①②知，n∈N^*，a_n＝－.