Question

(附加题)本题满分20分
如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围  （Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

Answer 1

（1）（2）

（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根
∴即{解这个不等式组得.
（II） 设四个交点的坐标分别为、、、。则直线AC、BD的方程分别为
 
解得点P的坐标为。则由（I）根据韦达定理有，由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积
 
令，则    下面求的最大值。
方法1：由三次均值有：

 
当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。故所求的点P的坐标为 
法2：令，，
∴，
令得，或（舍去）
当时，；当时；当时，
故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为