Question

17．在平面直角坐标系xOy中，直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}（t为参数）}\right.$，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程是$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$；
（Ⅰ）若m=0，在曲线C上确定一点M，使得它到直线l的距离最小，并求出最小值；
（Ⅱ）设P（m，2）且m＞1，直线l与曲线C相交于A，B两点，$\frac{{|{|{PA}|-|{PB}|}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线C的普通方程，设直线方程为y=$\sqrt{3}x$+b，代入抛物线方程，可得3x²+（2$\sqrt{3}$b-4）x+b²=0，利用△=0，可得M的坐标，即可得出结论；
（Ⅱ）利用参数的几何意义，结合条件，即可求m的值．

解答 解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为$ρ=\frac{8cosθ}{1-cos2θ}$，即ρ（1-cos2θ）=8cosθ，化为ρ²•2sin²θ=8ρcosθ，∴y²=4x．
m=0，直线方程为y=$\sqrt{3}x$+2
设直线方程为y=$\sqrt{3}x$+b，代入抛物线方程，可得3x²+（2$\sqrt{3}$b-4）x+b²=0，
△=（2$\sqrt{3}$b-4）²-12b²=0，∴b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{1}{3}$，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴M（$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），到直线l的距离最小，最小值为$\frac{|2-\frac{\sqrt{3}}{3}|}{\sqrt{3+1}}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（Ⅱ）直线l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=2+\sqrt{3}t}\end{array}（t为参数）}\right.$，代入y²=4x．可得3t²+（4$\sqrt{3}$-4）t+4-4m=0
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=$\frac{4-4\sqrt{3}}{3}$，①t₁t₂=$\frac{4-4m}{3}$②，
∵$\frac{{|{|{PA}|-|{PB}|}|}}{{|{PA}|•|{PB}|}}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，P（m，2）且m＞1，
∴$\frac{\sqrt{（\frac{4-4\sqrt{3}}{3}）^{2}-4•\frac{4-4m}{3}}}{|\frac{4-4m}{3}|}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$，
∴m=-5-3$\sqrt{3}$+$\sqrt{59+36\sqrt{3}}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与抛物线相切问题转化为一元二次的判别式满足的条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．