Question

若a，b，c∈R₊，且a²+b²+c²=1，求证：-

1

2

≤ab+bc+ca≤1．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：利用基本不等式的性质及ab+bc+ac+

1

2

=ab+bc+ac+

a2+b2+c2

2

=

1

2

(a+b+c)2≥0，即可得出．

解答： 证：由a，b，c∈R₊，
则由基本不等式得：ab≤

a2+b2

2

，bc≤

b2+c2

2

，ac≤

a2+c2

2

．
∴ab+bc+ac≤a²+b²+c²．
∵a²+b²+c²=1，ab+bc+ac≤1．
∵ab+bc+ac+

1

2

=ab+bc+ac+

a2+b2+c2

2

=

1

2

(a+b+c)2≥0，
∴ab+bc+ac≥-

1

2

．
综上可得：-

1

2

≤ab+bc+ca≤1．

点评：本题考查了基本不等式的性质、配方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．