Question

已知函数f（x）=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）若不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义即可判断函数在其定义域上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0进行转化即可求m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）为减函数，
∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴函数f（x）为减函数；
（Ⅱ）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
则f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即函数在其定义域上的单调递增；
（Ⅲ）若不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0恒成立，
则等价为f（1-m）＜-f（1-m²），
∵f（x）为奇函数且为增函数，
∴不等式等价为f（1-m）＜f（m²-1），
即1-m＜m²-1，
则m²+m-2＞0，
解得m＞1或m＜-2，
即m的取值范围是{m|m＞1或m＜-2}．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用定义法是解决本题的关键．要求熟练掌握函数性质综合应用．