题目内容
在△ABC中，A=2B，sinB=
，AB=23．
（1）求sinA，sinC；
（2）求
•
的值．
| 1 |
| 3 |
（1）求sinA，sinC；
（2）求
| CA |
| CB |
分析：（1）由sinB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，再由A=2B，得到sinA=sin2B，利用二倍角的正弦函数公式化简，将sinB与cosB的值代入求出sinA的值，同理求出cosA的值，利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC，sinB，sinA，AB的值代入求出CA与CB的值，由cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式求出cosC的值，利用平面向量的数量积运算法则化简所求式子，即可求出值．
（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC，sinB，sinA，AB的值代入求出CA与CB的值，由cosC=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式求出cosC的值，利用平面向量的数量积运算法则化简所求式子，即可求出值．
解答：解：（1）∵sinB=
，B为锐角，
∴cosB=
=
，
∵A=2B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB=2×
×
=
，cosA=cos2B=cos2B-sin2B=
-
=
，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
×
+
×
=
；
（2）由正弦定理
=
=
，AB=23，sinC=
，sinB=
，sinA=
，
∴AC=
=9，BC=
=12
，
又cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-
×
+
×
=-
，
∴
•
=CA×CB×cosC=9×12
×（-
）=-80．
| 1 |
| 3 |
∴cosB=
| 1-sin2B |
2
| ||
| 3 |
∵A=2B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB=2×
| 1 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 9 |
| 8 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 7 |
| 9 |
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
4
| ||
| 9 |
2
| ||
| 3 |
| 7 |
| 9 |
| 1 |
| 3 |
| 23 |
| 27 |
（2）由正弦定理
| AB |
| sinC |
| AC |
| sinB |
| BC |
| sinA |
| 23 |
| 27 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 9 |
∴AC=
| ABsinB |
| sinC |
| ABsinA |
| sinC |
| 2 |
又cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-
| 7 |
| 9 |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
| 9 |
| 1 |
| 3 |
10
| ||
| 27 |
∴
| CA |
| CB |
| 2 |
10
| ||
| 27 |
点评：此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
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