Question

如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面，且,设、分别为、的中点．

(1)求证：//平面；
(2)求证：面平面．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定以及线面平行的判定，运用传统几何法进行证明，突出考查空间想象能力和推理论证能力.第一问，连结，在中，利用中位线得，利用线面平行的判定，证明平面；第二问，先利用面面垂直的性质判断出，从而平面，所以垂直于面内的任意的线，由，判断是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直.
试题解析：（1）∵为平行四边形，
连结,为中点，为中点，
∴在中，且平面，平面，
∴平面.
（2）因为面平面，平面面，
∵为正方形，，平面，
∴平面，∴.
又，所以是等腰直角三角形，
且，　　　即 ，
，且、面，
面，            
又面，　　面面.                       12分