Question

如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求证：平面PAC；
（2）若，求与所成角的余弦值；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）．

试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证这条直线与平面内的两条相交直线垂直，这里由于四边形是菱形，所以，另外一条直线当然考虑（或者），本题中应该是；（2）求异面直线所成的角，一般可通过平移变成相交直线所成的角，考虑到第（3）小题问题，且题中有垂直的直线，故考虑建立空间直角坐标系（以的交点为坐标原点，为轴，为轴，过与平行的直线为轴），则与所成角就是与的夹角（（锐角（或其补角）或直角），平面与平面垂直就是它们的法向量垂直，即它们的法向量的数量积为0．
试题解析：(1)证明：因为四边形是菱形，所以，又因为平面，所以，而，所以平面.

（2）设，因为，
所以，如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设与所成的角为，则．
（3）由（2）知设．则设平面的法
向量则，所以令则，
所以同理，平面的法向量，因为平面，所以，即解得，所以．