Question

如图所示，四棱锥,底面是边长为的正方形，⊥面，,过点作,连接．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若面交侧棱于点，求多面体的体积.

Answer 1

（Ⅰ）略；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）利用线线垂直证明线面垂直；（Ⅱ）利用椎体体积公式，找高求面积.
试题解析：（Ⅰ）证明：PA⊥面ABCD,BC在面ABCD内，
∴ PA⊥BC  BA⊥BC,PA∩BA=A,∴BC⊥面PAB，
又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB="B,"
∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内AE⊥PC, AF⊥PC, AE∩AF="A,"
∴PC⊥面AEF        6分
（Ⅱ） PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C  AG⊥面PDC,
∵GF在面PDC内∴AG⊥GF△AGF是直角三角形，
由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=,EF=GF=  ∴, 又AF=,∴, PF=
∴     13分