题目内容

6．已知函数f（x）=-x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为$\frac{1}{12}$，则a的值为（　　）
A．0B．1C．-1D．-2

分析 由x=0是f（x）=0的一个极值点，可得f′（0）=0，求得b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为$\frac{1}{12}$，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可

解答 解：由f（x）=-x3+ax2+bx，得f′（x）=-3x2+2ax+b．
∵x=0是原函数的一个极值点，
∴f′（0）=b=0．
∴f（x）=-x2（x-a），有∫a0（x3-ax2）dx=（$\frac{1}{4}{x}^{4}-\frac{1}{3}a{x}^{3}$）|a0=0-$\frac{{a}^{4}}{4}$+$\frac{{a}^{4}}{3}$=$\frac{{a}^{4}}{12}$=$\frac{1}{12}$，
∴a=±1．
函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=-1．
故选：C

点评 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．

练习册系列答案
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A．4B．5C．6D．7
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