Question

13．已知函数f（x）=ax²-x，若对任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{1}{2}，+∞）$
• B． $[\frac{1}{2}，+∞）$
• C． $（\frac{1}{4}，+∞）$
• D． $[\frac{1}{4}，+∞）$

Answer 1

分析 对$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$进行化简，转化为a（x₁+x₂）-1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，从而将恒成立问题转变成求$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的最大值，即可求出a的取值范围

解答 解：不妨设x₂＞x₁≥2，
$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{（a{{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}）-（a{{x}_{2}}^{2}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{a（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）-（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=a（x₁+x₂）-1，
∵对任意x₁，x₂∈[2，+∞），且x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
∴x₂＞x₁≥2时，a（x₁+x₂）-1＞0，即a＞$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}$恒成立
∵x₂＞x₁≥2
∴$\frac{1}{{x}_{1}+{x}_{2}}＜\frac{1}{4}$
∴a$≥\frac{1}{4}$，即a的取值范围为[$\frac{1}{4}$，+∞）
故本题选D

点评 本题考查了不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，注意运用参数分离，属于基础题．