Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，将它们沿对角线BD折起，折后的点C变为C₁，且AC₁=2．
（1）求证：平面ABD⊥平面BC₁D；
（2）E为线段AC₁上的一个动点，当线段EC₁的长为多少时，DE与平面BC₁D所成的角为30°？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理及其逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量与平面的法向量所成的角即可得到线面角．

解答：（1）证明：∵AB=1，BD=

2

，∠ABD=90°，∴AD=

12+( 2 )2

=

3

=BC，
∵AC₁=2，∴AC12=AB2+BC12，∴∠ABC1=90°，∴AB⊥BC₁．
又AB⊥BD，BC₁∩BD=B，∴AB⊥平面BC₁D，
∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BC₁D．
（2）在平面BC₁D过点B作直线l⊥BD，分别以直线l，BD，BA为x，y，z建立空间直角坐标系B-xyz，
则A（0，0，1），C₁（1，

2

，0），D（0，

2

，0），
∴

AC1

=(1，

2

，-1)，

BA

=(0，0，1)，
设

AE

=λ

AC1

=(λ，

2

λ，-λ)，则E(λ，

2

λ，1-λ)，λ∈[0，1]，∴

DE

=(λ，

2

λ-

2

，1-λ)．
又

BA

=(0，0，1)是平面BC₁D的一个法向量，
依题意得sin30o=|cos＜

BA

，

DE

＞|，即|

1-λ

λ2+3(λ-1)2

|=

1

2

，
解得λ=

1

2

，即|C₁E|=1时，DE与平面BC₁D所成的角为30°．

点评：熟练掌握勾股定理及其逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用斜线的方向向量与平面的法向量所成的角求得到线面角是解题的关键．