Question

5．已知函数f（x）=ax²-$\frac{1}{2}$x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤$\frac{1}{2}$x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出．
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），h（x）≤$\frac{1}{2}$x恒成立，则f（x）-g（x）≤0恒成立，g（x）=ax²+ln（x+1）-x，（x≥0），只需g（x）_max≤0，分类讨论后，综合讨论结果可得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（0）=0，所以切点为（0，0），
∵f′（x）=2ax-$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{x+1}$，
∴f′（0）=-$\frac{1}{2}$+2=$\frac{3}{2}$，
∴所求切线方程为y=$\frac{3}{2}$x，
（Ⅱ）由题设，当x∈[0，+∞）时，不等式ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x，（x≥0），只需g（x）_max≤0即可，
由g′（x）=2ax+$\frac{1}{a+1}$-1=$\frac{x（2ax+2a-1）}{x+1}$，
（1）当a=0时，g′（x）=-$\frac{x}{x+1}$，
当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）_max=g（0）=0，满足条件，
（2）当a＞0时，令g′（x）=$\frac{[2ax+（2a-1）]}{x+1}$=0，解得x=$\frac{1}{2a}$-1，
①若$\frac{1}{2a}$-1≤0，即a≥$\frac{1}{2}$，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，
则函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）≥0，当且仅当x=0时等号成立，此时不满足条件，
②若$\frac{1}{2a}$-1＞0，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，$\frac{1}{2a}$-1）上单调递减，在区间（$\frac{1}{2a}$-1，+∞）上单调递增，
g（$\frac{1}{a}$）=lg（1+$\frac{1}{a}$）＞0，此时不满足条件，
（3）当a＜0时，由g′（x）=$\frac{[2ax+（2a-1）]}{x+1}$，
∴2ax+（2a-1）＜1，
∴g′（x）＜0，函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）_max=g（0）=0，满足条件，
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]

点评 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导数符号与原函数单调性的关系，是解答的关键．