Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为F（$\sqrt{3}$，0），且过点（-$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l与以原点O为圆心，OF为半径的圆相切，交椭圆C于不同的两点A，B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（II）以原点O为圆心，OF为半径的圆的方程为：x²+y²=3．设圆的切线l的方程为：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用直线与圆相切的充要条件可得：$\frac{|t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$．直线方程与椭圆方程联立化为：（m²+4）y²-2mty+t²-4=0，利用根与系数的关系、数量积运算性质可得：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{11{m}^{2}+11}{{m}^{2}+4}$，整理用户数的性质即可得出．

解答 解：（I）由题意可得：c=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得：a=2，b=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）以原点O为圆心，OF为半径的圆的方程为：x²+y²=3．
设圆的切线l的方程为：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则$\frac{|t|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，化为：t²=3（m²+1）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化为：（m²+4）y²-2mty+t²-4=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2mt}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁-t）（my₂-t）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂-mt（y₁+y₂）+t²=$\frac{（{m}^{2}+1）（{t}^{2}-4）}{{m}^{2}+4}$-$\frac{2{m}^{2}{t}^{2}}{{m}^{2}+4}$+t²=$\frac{5{t}^{2}-4{m}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$=$\frac{11{m}^{2}+11}{{m}^{2}+4}$=11-$\frac{33}{{m}^{2}+4}$∈$[\frac{11}{4}，11）$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范围是$[\frac{11}{4}，11）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、点到直线的距离公式、直线与圆相切的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题．